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等差数列教案 篇1
等差数列求和
教学目标
1.掌握等差数列前
项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前
项和公式（1）了解等差数列前
推导的过程，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前
项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；
（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构
本节内容是等差数列前 前
项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析
教学重点是等差数列前
项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公
③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前
项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前
等差数列的前教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例
项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法
讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入
提出问题：一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“ ”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，?，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式
问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两
式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是
.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应??
3.公式的应用
公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；
（2）（结果用 表示）
解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？
本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结
1.推导等差数列前的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；
2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计
等差数列教案 篇2
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面， 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想
1.教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2.学法
引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
五、教学重点与难点
重点：
等差数列教案 篇3
课题：等比数列前 项和的公式
教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学方法
引导发现法.教学过程
一、新课引入：
（问题见教材第26页）提出问题：1?2?22?…?229=?
二、新课讲解：
记s?1?2?22???229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s?1?2?22???229，①
2s?2?22???229?230, ②
②－①得 2s?s?230?1,即s?230?1;由此对于一般的等比数列，其前n项和sn?a1?a1q?a1q2?a1q3???a1qn?1，如何化简？
等比数列前项n和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即
sn?a1?a1q?a1q2?a1q3???a1qn?1 ③, 两端同乘以q，得
2sn?a1q?a1q2?a1q3??a1qn?1?a1qn
④, ③－④得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sn?a1?a1qn ⑤，取值）
当q?1时，由③可得sn?na1,（不必导出④，但当时设想不到）当q?1时，由⑤得
a1(1?qn)。
sn?1?q反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：
s?1234n ?2?3?4???n设, 其中?n?为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.2??解：
s??22?33?44???nn
两端同乘以1，得 s?2?23?34?45???nn?两式相减得
ns??2?3?4???n?n?
于是，所以1n11s?2?n?1?n(1?n)1222?ns?2n??2
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结：
1.等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；
2.用错位相减法求一些数列的前n项和.
等差数列教案 篇4
授课教师 授课班级 课 题 3.2.1等差数列(一) 课型 新授课 教学目标 知识目标 等差数列的定义.
等差数列的通项公式. 能力目标 明确等差数列的定义.
掌握等差数列的通项公式，并能运用其解决问题. 情感目标 培养学生的观察能力.
进一步提高学生的推理、归纳能力.
培养学生的应用意识. 教学重点 等差数列的定义的理解和掌握.
等差数列的通项公式的推导和应用. 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程 教学环节和教学内容 设计意图 【复习回顾】(2分钟)
数列的定义以及数列的通项公式和递推公式。
【引入】(3分钟)
某人要用彩灯装饰圣诞树，这个人做事喜欢按一定的规律去做，他在圣诞树的顶尖装上1个彩灯，在第一层装上4个，第二层装上7个，第三层装上10个，第四层装上13个。如果有第五层，你能猜得出他要装上多少个彩灯吗?他的规律是怎样的?
你能根据规律在( )内填上合适的数吗?
(1)1， 4， 7，10，13，( )
(2)21， 21.5， 22， ( )， 23， 23.5，…
(3)8，( )， 2， -1， -4， …
(4)-7， -11， -15， ( )， -23
共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这样的数列叫做等差数列。
【讲授新课】(16分钟)
一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用符号表示：
教师活动：分析定义，强调关键的地方，帮助学生理解和掌握。
问题：1.数列(1)(2)(3)(4)的公差分别是多少?
2.(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
(6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差数列吗?
3.求等差数列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100项。
师生一起讨论回答。
二、等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项
思考：已知等差数列的第m项 和公差d，这个等差数列的通项公式是?答：
【例题讲解】(8分钟)
等差数列教案 篇5
各位领导、各位专家：
你们好！我说课的课题是《等差数列》。我将从以下五个方面来分析本课题：
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。另一方面，等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。
2、教学目标：
a、在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。
b、在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。
c、在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。
3、教学重、难点：
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列通项公式的推导过程及应用。
难点：
①等差数列的通项公式的推导。
②用数学思想解决实际问题。
二、学情分析
对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。
三、教法、学法分析
教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。
学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。
四、教学过程
我把本节课的教学过程分为六个环节：
（一）创设情境，提出问题
问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列）
1、我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10，15，20，①
2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48，53，58，63②
3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5，最低降至5那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15、5，13，10、5，8，5、5③
4、按照我国现行储蓄制度（单利），某人按活期存入10000元钱，5年内各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10072，10144，10216，10288，10360④
教师活动：引导学生观察以上数列，提出问题：
问题1、请说出这四个数列的后面一项是多少？
问题2、说出这四个数列有什么共同特点？
（二）新课探究
学生活动：对于问题1，学生容易给出答案。而问题2对学生来说较为抽象，不易回答准确。
教师活动：为引导学生得出等差数列的概念，我对学生的表述进行归类，引导学生得出关键词“从第2项起”、“每一项与前一项的差”、“同一个常数”告诉他们把满足这些条件的数列叫做等差数列，之后由他们集体给出等差数列的概念以及其数学表达式。
同时为了配合概念的理解，用多媒体给出三个数列，由学生进行判断：
判断下面的数列是否为等差数列，是等差数列的找出公差
1、1，2，3，4，5，6，；（√，d = 1）
2、0、9，0、7，0、5，0、3，0、1；（√，d = —0、2）
3、0，0，0，0，0，0，、；（√，d = 0）
其中第一个数列公差>0，第二个数列公差
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
在理解等差数列概念的基础上提出：
问题3、如果等差数列的首项是a1，公差是d，如何用首项和公差将an表示出来？
教师活动：为引导学生得出通项公式，我采用讨论式的教学方法。让学生自由分组讨论，在学生讨论时引导他们得出a10=a1+9d，a40=a1+39d，进而猜想an=a1+（n—1）d。
整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
此时指出：这就是不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，进而提出：
问题4、怎么样严谨的求出等差数列的通项公式？
利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加，最后证出通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想”的教学要求。
接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2，即an=2n—1、以此来巩固等差数列通项公式运用，同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n的一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。这一题用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。
（三）应用举例
这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式的理解及运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a
1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项；第30项；第40项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，的项？如果是，是第几项？
在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an
例2在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d、在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固。
例3是一个实际建模问题
某出租车的计价标准为1、2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意“出租车的计价标准为1、2元/km”使学生想到在每个整公里时出租车的车费构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型。
设置此题的目的：加强学生对“数学建模”思想的认识。
（四）反馈练习
1、小节后的练习中的第1题
目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。
2、小节后的练习中的第2题
目的：对学生加强建模思想训练。
3、课本P38例3（备用）
已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？它与函数y=px+q两者图象间有什么关系？
目的：此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义解决数列问题同时强化了等差数列的概念；进而让学生从数（结构特征）与形（图象）上进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系
（五）归纳小结
（由学生总结这节课的收获）
1、等差数列的概念及数学表达式
强调关键词：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2、等差数列的通项公式an=a1+（n—1）d会知三求一
3、用“数学建模”思想方法解决实际问题
（六）布置作业
必做题：课本P40习题2、2 A组第1、3、4题
选做题：课本P40习题2、2 B组第1题
课后实践：
将学生分成三个小组，要求他们分别找出现实生活中公差大于、小于、等于0的典型的等差数列的模型，在下节课派代表为我们讲解所选的等差数列。
目的是让学生主动参与具体的教学实践，进一步巩固知识，激发兴趣。
五、结束
本节课我根据高二学生的心理特征及认知规律，通过一系列问题贯穿教学始终，符合新课标要求的“以教师为主导，学生为主体”的思想，并最终达到预期的教学效果。
我的说课完毕，谢谢！
等差数列教案 篇6
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
进而归纳出等差数列的通项公式：
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法――――――迭加法：
将这（n―1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 anC a1= （n―1） d即 an= a1+（n―1） d （1）
当n=1时，（1）也成立，
因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。
利用等差数列概念启发学生写出n―1个等式。
对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n―1个等式相加。证出通项公式。
在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求
接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n―1）×2 ， 即an=2n―1 以此来巩固等差数列通项公式运用
同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。
这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项
（2）―401是不是等差数列―5，―9，―13，…的项？如果是，是第几项？
在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an
例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。
建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？
这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型――――――等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点）
设置此题的目的：
1。加强同学们对应用题的综合分析能力，
2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；
3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法
1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。
2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。
3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列
此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。
1。等差数列的概念及数学表达式．
选做题：已知等差数列{an}的首项a1= ―24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）
在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。
等差数列教案 篇7
数学教案－等差数列_高一数学教案_模板
§等差数列
目的：1.要求学生掌握等差数列的概念
2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈n*）2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈n*).3．等到差中项：若a、a、b成等差数列，则a叫做a、b的等差中项，且
难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，……，，…… 12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差” 二、得出等差数列的定义：（见p115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1．名称：ap 首项
公差
2．若
则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为
当 时
（成立）
注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数
2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成ap 证明：若
它是以 为首项，为公差的ap。
3° 公式中若
则数列递增，则数列递减
4° 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在 中，，四数中已知三个可以
求出另一个。例1（p115例一）
例2（p116例二）注意：该题用方程组求参数 例3（p116例三）此题可以看成应用题 四、关于等差中项： 如果 成ap 则
证明：设公差为，则
∴
例4 《教学与测试》p77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成ap，求此数列。
解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项 ∴
又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设
∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例5、已知数列 的前 项和，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当 时
时 亦满足 ∴
首项
∴ 成ap且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成ap。
例6 已知，成ap，求证，也成ap。
证明： ∵，成ap
∴ 化简得：
=
∴，也成ap 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。
例7 设数列 其前 项和，问这个数列成ap吗？
解： 时 时
∵
∴
∴ 数列 不成ap 但从第2项起成ap。
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： p118习题3．2 1-9 七、练习：
1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。
注：不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。
3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。
4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。
分析：本题可采用两种方法来解。
（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。
（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
5．在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中sn=a1+a2+…+an.证明数列是等 差数列，并求sn。
分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为sn-sn-1后再变形，便可达到目的。
6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（）
a 18 b 19 c 20 d21 7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（）
a 2n-5 b 2n+1 c 2n-3 d 2n-1 8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（）
a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件
c 充要条件 d既不必要也不充分条件 9．（1）若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=
（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是
（3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是
10．已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。11．设数列{an}的前n项sn=n2+2n+4(n∈n*)(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;(2)证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。
12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
13．若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法
讨论、谈话法.教学过程 一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，，－，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）
1.等比数列的定义（板书）
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列
①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列
？为什么不能？
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）
问题：用 和 表示第 项.①不完全归纳法
.②叠乘法，…，这 个式子相乘得，所以.（板书）（1）等比数列的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业（略）五、板书设计
三.等比数列 1.等比数列的定义 2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式 （1）公式
（2）对公式的认识
教学目标
（1）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．
（2）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．
（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；
（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；
教学重点：
型的不等式的解法；
教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 学生活动 设计意图 一、导入新课
?提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 【概括】
口答
绝对值的概念是解 与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 二、新课
?导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来．
?讲述】求绝对值等于2的数可以用方程 来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2． 【提问】如何解绝对值方程 ．
?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？ 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．
?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？
?质疑】 的解集有几部分？为什么 也是它的解集？
?讲述】 这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以 是 解集的一部分．在解 时容易出现只求出 这部分解集，而丢掉 这部解集的错误． 【练习】解下列不等式：（1）；（2）
?设问】如果在 中的，也就是 怎样解？
?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．
所以，原不等式的解集是
?设问】如果 中的 是，也就是 怎样解？
?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．，或，由 得
由 得
所以，原不等式的解集是
口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数． 画出数轴，思考答案
不等式 的解集表示为
画出数轴 思考答案
不等式 的解集为
或表示为，或
笔答（1）
（2），或
笔答 笔答
根据绝对值的意义自然引出绝对值方程（）的解法．
由浅入深，循序渐进，在（）型绝对值方程的基础上引出（）型绝对值方程的解法． 针对解（）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑． 落实会正确解出 与（）绝对值不等式的教学目标． 在将 看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．
继续强化将 看成一个整体继续强化解 不等式时不要犯丢掉 这部分解的错误． 三、课堂练习解下列不等式：（1）；（2）
笔答（1）；（2）
检查教学目标落实情况． 四、小结的解集是 ； 的解集是
解 绝对值不等式注意不要丢掉 这部分解集．
或 型的绝对值不等式，若把 看成一个整体一个字母，就可以归结为 或 型绝对值不等式的解法． 五、作业
1．阅读课本 含绝对值不等式解法． 2．习题 2、3、4 课堂教学设计说明
1．抓住解 型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础．
2．在解 与 绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的．
3．针对学生解（）绝对值不等式容易出现丢掉 这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．
（第二课时）一、教学目标
1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．
二、教学重点平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学具准备
投影仪 四、教学过程
1．设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2．探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生：（与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生：，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
?例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注：（其中、为向量）
答：一般不成立。
?例2】已知，与 的夹角为，求.解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.【例3】已知，且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时，与 互相垂直．
3．演练反馈（投影）
（1）已知，为非零向量，与 互相垂直，与 互相垂直，求 与 的夹角．
（2），为非零向量，当 的模取最小值时，①求 的值；
②求证： 与 垂直．
（3）证明：直径所对的圆周角为直角． 参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直.（3）如图所示，设，（其中 为圆心，为直径，为圆周上任一点）
则
∵，∴
即 圆周角
4．总结提炼
（l）
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律． 五、板书设计 课题：
1．数量积性质 2．数量积运算律 例题 1 2 3 演练反馈 总结提炼
等差数列教案 篇8
教学目标：1、使学生进一步地明确等差(比)数列、等差(比)中顷的概念;
2、使学生进一步地熟练地掌握等差(比)数列的通项公式及推导公式;
3、使学生较灵活地应用等差(比)数列的定义及性质解决一些相关问题。
教学重点：等差(比)数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
教学难点：灵活应用等差(比)数列的定义及性质解决一些相关的问题。
教学准备：利用自习将思考题(一)(二)发放给学生，让他们先思考，教师解答学生在思考过程中出现的问题。
课 型：专题复习课。
时间安排：45’×2
教学过程：
第一课时
一、回顾等差数列的有关基础知识
教 法：1、指名学生回答等差数列的概念，等差中顷，通项公式，前几项求和公式。
2、教师点评，师生达成共识。
二、领悟“思考题(一)”
教 法：1、以拖火车的形式指名学生回答思考题(一)的4个问题。
2、教师点评，师生达成共识。
⑴由思考1还可以得到这样的结论，在等差数列{an}中，
m+n
若 =k，则am+an=2ak(m,n,k∈N_)与性质：
在等差数列{an}中m+n=p+q→am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N_)是一致的)。
⑵由思考题2还可以得到这样的变式:①an=am+(n—m)d或am=an+(m—n)d
an—a1
②d=
n—1
⑶由思考题3、4可以得到这样的性质：若数列{an}为等差数列，其前几项和为Sn，则有如下性质：Sn，S2n—Sn，S3n—S2n……也成等差数列，公差为nd2。
三、学生操练
教 法：1、指名学生板演，其余学生思考，教师巡回指导，着重关注学困生。
2、教师点评，师生达成共识：巧妙地应用等差数列的性质(或通项公式的变形式)求解，能简化解题过程。
四、布置作业：1、第6、7题。 2、思考题(二)
第二课时
一、回顾等比数列的.有关基础知识
教 法：1、指名学生回答“等比数列的概念，等比中项，通项公式，前n项求和公式”。
2、教师点评，师生达成共识。
等差数列教案 篇9
等差数列的教学设计
教学理念： 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的 参与 ，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。
设计思想： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
一、教材分析：高考资源网
教学内容：
高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
教学地位：
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对 后续 内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网
教学重点：
理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。
教学难点：
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析：
高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
三、教学目标：高考资源网
知识目标：
理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。
能力目标：高考资源网
培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项 公式 的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。
情感目标：
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
四、教法和学法的分析：高考资源网
通过探究式教学方法充分利用现实 情景 ，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、 在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。
五、教学媒体和教学技术的选用
多媒体计算机和几何画板
通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。
六、教学程序：
(一)设置问题，引导发现形成概念w。
师：看大屏幕。高考资源网
情景1(播放奥运会女子举重场面)
2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：
48，53，58，63
情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)
18，15.5，13，10.5，8，5.5
情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：
本利和=本金 (1+利率 存期)
时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税)
各年末本利和(单位：元)高考资源网
10072，10144，10216，10288，10360
师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？
每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。
(学生纷纷议论，有的几个人在一起商量)高考资源网
(从宏观上 ： 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3 倡导节约意识，纳税意识。)
从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。
48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？
学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。
师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生1：不一样，要加上同一个常数。
学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？
学生2：不一样，必须从第二项开始。
学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
(教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：
= 1 gb3 ① 同一个常数； = 2 gb3 ② 从第二项起)
师：能不能用数学语言表示？
学生4：
师：等价吗？
学生4：应加上(d是常数)， .
(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)
师：对式子进行变形可得 。
这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？
学生5：某剧场前8排的座位数分别是
52，50，48，46，44，42，40，38.
学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25
学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。
师：如何用数列表示？
学生8：设相邻两盏之间的距离为a，该数列为
a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。
(让学生举例，加深感性认识)
师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？
学生(共同)：等差数列。
师：(学生叙述，板书定义)高考资源网
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。
提出课题《等差数列》
对定义进行分析，强调： = 1 gb3 ① 同一个常数； = 2 gb3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。
师：回到表格中，分别说出它们的公差。
学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72.
师：在计算年末本利和的问题中求 时，能不能不按本利和=本金 (1+利率 存期)
求而按数列的特征求呢？
学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。
(再提出问题，引导发现求通项公式的必要性)
(二)启发、引导推出等差数列的通项公式
师：把问题推广到一般情况。若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么？高考资源网
启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。
学生10： 即：
即：
即：
由此可得：
师：从第几项开始归纳的？
学生10：第二项，所以n≥2。
师：n=1时呢？
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。
2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。
教学难点：等差数列的性质
教学过程：
一、复习引入：（课件第一页）
二、讲解新课：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
（课件第二页）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{ }，若 － =d （与n无关的数或字母），n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。
2．等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： （课件第二页） 第二通项公式 （课件第二页）
三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项（课本p111） ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ，
例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。
小结：
①这就是第二通项公式的变形，
②几何特征，直线的斜率
例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3）
例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）
分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。
注：
①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差，直线在y轴上的截距为q.
③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q （p、q是常数）。称其为第3通项公式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数。
四、练习：
1、（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项。
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项。
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
（4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
2、在等差数列{ }中，
（1）已知 =10, =19,求 与d;
五、课后作业：
习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 。 8. 9.
一、知识与技能
1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2、正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。
二、过程与方法
1、通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力；
2、通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性。
三、情感态度与价值观
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
教学过程
导入新课
师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法。这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些数列的例子：（课本p41页的4个例子）
(1)0，5，10，15，20，25，…；
(2)48，53，58，63，…；
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…；
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…。
请你们来写出上述四个数列的第7项。
生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510。
师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢？以第二个数列为例来说一说。
生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78。
师：说得很有道理！我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征。
生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数。
师：作差是否有顺序，谁与谁相减？
生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒。
师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列。
这就是我们这节课要研究的内容。
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈n*，则此数列是等差数列，d叫做公差。
师：定义中的关键字是什么？（学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环。因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力）
生：从“第二项起”和“同一个常数”。
师：：很好！
师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…。
师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考。
［合作探究］
等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么？
生：a2-a1=d,即a2=a1+d.
师：对，继续说下去！
生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;
……
师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的。通项公式吗？
生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.
师：很好！这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了。需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗？
生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用。证明过程是这样的：
因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…，an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.
师：太好了！真是活学活用啊！这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了。
［教师：精讲］
由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,
即a1=am-(m-1)d.
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,
即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.（这是变通的通项公式）
由此我们还可以得到。
［例题剖析］
?例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项；
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
师：这个等差数列的首项和公差分别是什么？你能求出它的第20项吗？
生：1这题太简单了！首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
师：好！下面我们来看看第（2）小题怎么做。
生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1)。
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程（独立的量有三个）。
说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题。这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立。
?例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
例题分析：
师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么？
生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数。
师：说得对，请你来求解。
生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数，
所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.
师：这里要重点说明的是：
（1）若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…。
（2）若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.
（3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数），称其为第3通项公式。课堂练习
（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙。
解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+（n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈n*）。∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.
评述：关键是求出通项公式。
（2）求等差数列10，8，6，…的第20项。
解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.
所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.
评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性。
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。
分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数。
解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项。
(4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。
解：由题意可知a1=0，，因而此数列的通项公式为。
令，解得。因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项。
课堂小结
师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？（让学生：反思、归纳、总结，这样来培养学生：的概括能力、表达能力）
生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2)；其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1)。
?教学目标】
1．知识与技能
（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：
（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：
（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。
2、过程与方法
在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。
3、情感、态度与价值观
通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。
?教学重点】
①等差数列的概念；
②等差数列的通项公式
?教学难点】
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；
②等差数列的通项公式的推导过程．
?学情分析】
我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．
?设计思路】
1．教法
①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
【教学过程】
一：创设情境，引入新课
1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？
2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？
3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？
教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数．
学生：
1：0，5，10，15，20，25，…．
2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．
3:10072，10144，10216，10288，10360.
（设置意图：从实例引入，实质是给出了等差数列的现实背景，目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型。通过分析，由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力。
二：观察归纳，形成定义
①0，5，10，15，20，25，…．
②18，15．5，13，10．5，8，5．5．
③10072，10144，10216，10288，10360.
思考1上述数列有什么共同特点？
思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？
思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？
教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。
学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。
教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。
（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。）
三：举一反三，巩固定义
1、判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d。
(1)1，1，1，1，1;
(2)1，0，1，0，1;
(3)2，1，0，-1，-2;
(4)4，7，10，13，16.
教师出示题目，学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题。
注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 。
（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）。
2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？
（设计意图：强化等差数列的证明定义法）
四：利用定义，导出通项
1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？
2、已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？
教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示。根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法。
（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）
五：应用通项，解决问题
1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项？如果是，是第几项？
2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an。
3求等差数列 3，7，11，…的第4项和第10项
教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况。
学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式
（设计意图：主要是熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系。初步认识“基本量法”求解等差数列问题。）
六：反馈练习：教材13页练习1
七：归纳总结：
1、一个定义：
等差数列的定义及定义表达式
2、一个公式：
等差数列的通项公式
3、二个应用：
定义和通项公式的应用
教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充
（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念。）
【设计反思】
本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣。在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。
等差数列教案 篇10
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法――通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
教学过程：
前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。本节微课重点讲解等差数列的定义， 并且能初步判断一个数列是否是等差数列。
第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。根据这个练习总结出几个常用的结152秒
三、结尾
本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会判断一个数列是否是等差数列，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。